解決{l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+9y=-21$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$4x=-9y-21$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -9y-21。

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

在另一個方程式 3x+4y=-13 中以 \frac{-9y-21}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

3 乘上 \frac{-9y-21}{4}。

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

將 -\frac{27y}{4} 加到 4y。

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

將 \frac{63}{4} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

-\frac{9}{4} 乘上 -1。

$$x=\frac{9-21}{4}$$

將 -\frac{21}{4} 與 \frac{9}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

化簡。

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+27y=-63 減去 12x+16y=-52。

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$27y-16y=-63+52$$

將 27y 加到 -16y。

$$11y=-63+52$$

將 -63 加到 52。

$$11y=-11$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=-1$$

在 3x+4y=-13 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

4 乘上 -1。

$$3x-4=-13$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$3x=-9$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-1$$