解決{l}{4x+7y=2}{5x+6y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+7y=2$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$4x=-7y+2$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -7y+2。

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 5x+6y=4 中以 -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

5 乘上 -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}。

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

將 -\frac{35y}{4} 加到 6y。

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{6}{11}$$

在 x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2} 中以 -\frac{6}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

-\frac{7}{4} 乘上 -\frac{6}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{21}{22} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{16}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

讓 4x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

化簡。

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+35y=10 減去 20x+24y=16。

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$35y-24y=10-16$$

將 35y 加到 -24y。

$$11y=10-16$$

將 10 加到 -16。

$$11y=-6$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=-\frac{6}{11}$$

在 5x+6y=4 中以 -\frac{6}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

6 乘上 -\frac{6}{11}。

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

將 \frac{36}{11} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{80}{11}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{16}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$