解決{l}{4x+6y=0}{x-5y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 0 } \\ { x - 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{6}{13}\approx -0.461538462$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+6y=0$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$4x=-6y$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)y$$

\frac{1}{4} 乘上 -6y。

$$x=-\frac{3}{2}y$$

在另一個方程式 x-5y=-2 中以 -\frac{3y}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{2}y-5y=-2$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 -5y。

$$-\frac{13}{2}y=-2$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{4}{13}$$

在 x=-\frac{3}{2}y 中以 \frac{4}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{13}$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{4}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{6}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-6}&-\frac{6}{4\left(-5\right)-6}\\-\frac{1}{4\left(-5\right)-6}&\frac{4}{4\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&\frac{3}{13}\\\frac{1}{26}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\left(-2\right)\\-\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x+6y=0,4x+4\left(-5\right)y=4\left(-2\right)$$

化簡。

$$4x+6y=0,4x-20y=-8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+6y=0 減去 4x-20y=-8。

$$4x-4x+6y+20y=8$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+20y=8$$

將 6y 加到 20y。

$$26y=8$$

將兩邊同時除以 26。

$$y=\frac{4}{13}$$

在 x-5y=-2 中以 \frac{4}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-5\times \frac{4}{13}=-2$$

-5 乘上 \frac{4}{13}。

$$x-\frac{20}{13}=-2$$

將 \frac{20}{13} 加到方程式的兩邊。

$$x=-\frac{6}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$