解決{l}{4x+5y=6}{6x-7y=-20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+5y=6$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$4x=-5y+6$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -5y+6。

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 6x-7y=-20 中以 -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)-7y=-20$$

6 乘上 -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}。

$$-\frac{15}{2}y+9-7y=-20$$

將 -\frac{15y}{2} 加到 -7y。

$$-\frac{29}{2}y+9=-20$$

從方程式兩邊減去 9。

$$-\frac{29}{2}y=-29$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{4}\times 2+\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{4} 乘上 2。

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}&\frac{5}{58}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}\times 6+\frac{5}{58}\left(-20\right)\\\frac{3}{29}\times 6-\frac{2}{29}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

讓 4x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$6\times 4x+6\times 5y=6\times 6,4\times 6x+4\left(-7\right)y=4\left(-20\right)$$

化簡。

$$24x+30y=36,24x-28y=-80$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 24x+30y=36 減去 24x-28y=-80。

$$24x-24x+30y+28y=36+80$$

將 24x 加到 -24x。 24x 和 -24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y+28y=36+80$$

將 30y 加到 28y。

$$58y=36+80$$

將 36 加到 80。

$$58y=116$$

將兩邊同時除以 58。

$$y=2$$

在 6x-7y=-20 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-7\times 2=-20$$

-7 乘上 2。

$$6x-14=-20$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$6x=-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=2$$