解決{l}{4x+5y=1}{5x-7y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+5y=1$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$4x=-5y+1$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -5y+1。

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

在另一個方程式 5x-7y=1 中以 \frac{-5y+1}{4} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

5 乘上 \frac{-5y+1}{4}。

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

將 -\frac{25y}{4} 加到 -7y。

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{4}。

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{53}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{1}{53}$$

在 x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4} 中以 \frac{1}{53} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{4} 乘上 \frac{1}{53} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

將 \frac{1}{4} 與 -\frac{5}{212} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{12}{53}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

讓 4x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

化簡。

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+25y=5 減去 20x-28y=4。

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y+28y=5-4$$

將 25y 加到 28y。

$$53y=5-4$$

將 5 加到 -4。

$$53y=1$$

將兩邊同時除以 53。

$$y=\frac{1}{53}$$

在 5x-7y=1 中以 \frac{1}{53} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

-7 乘上 \frac{1}{53}。

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

將 \frac{7}{53} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{60}{53}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{12}{53}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$