解決{l}{4x+4y=280}{4x+1y=124} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=18$$

$$y=52$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+4y=280$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$4x=-4y+280$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -4y+280。

$$x=-y+70$$

在另一個方程式 4x+y=124 中以 -y+70 代入 x在方程式。

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

4 乘上 -y+70。

$$-4y+280+y=124$$

將 -4y 加到 y。

$$-3y+280=124$$

從方程式兩邊減去 280。

$$-3y=-156$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=52$$

在 x=-y+70 中以 52 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-52+70$$

將 70 加到 -52。

$$x=18$$

現已成功解出系統。

$$x=18,y=52$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=18,y=52$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+4y=280 減去 4x+y=124。

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-y=280-124$$

將 4y 加到 -y。

$$3y=280-124$$

將 280 加到 -124。

$$3y=156$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=52$$

在 4x+y=124 中以 52 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+52=124$$

從方程式兩邊減去 52。

$$4x=72$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=18$$

現已成功解出系統。

$$x=18,y=52$$