解決{l}{4x+3y=18}{x+5y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18 } \\ { x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{84}{17} = 4\frac{16}{17} \approx 4.941176471$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+3y=18$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$4x=-3y+18$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+18\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -3y+18。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 x+5y=2 中以 -\frac{3y}{4}+\frac{9}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}+5y=2$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 5y。

$$\frac{17}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$\frac{17}{4}y=-\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{10}{17}$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2} 中以 -\frac{10}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{17}\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{3}{4} 乘上 -\frac{10}{17} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{15}{34}+\frac{9}{2}$$

將 \frac{9}{2} 與 \frac{15}{34} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{84}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3}&-\frac{3}{4\times 5-3}\\-\frac{1}{4\times 5-3}&\frac{4}{4\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{3}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 18-\frac{3}{17}\times 2\\-\frac{1}{17}\times 18+\frac{4}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x+3y=18,4x+4\times 5y=4\times 2$$

化簡。

$$4x+3y=18,4x+20y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+3y=18 減去 4x+20y=8。

$$4x-4x+3y-20y=18-8$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-20y=18-8$$

將 3y 加到 -20y。

$$-17y=18-8$$

將 18 加到 -8。

$$-17y=10$$

將兩邊同時除以 -17。

$$y=-\frac{10}{17}$$

在 x+5y=2 中以 -\frac{10}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+5\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

5 乘上 -\frac{10}{17}。

$$x-\frac{50}{17}=2$$

將 \frac{50}{17} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{84}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$