解決{l}{4x+3y=13}{3x+6y=26} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+3y=13$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$4x=-3y+13$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -3y+13。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

在另一個方程式 3x+6y=26 中以 \frac{-3y+13}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

3 乘上 \frac{-3y+13}{4}。

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

將 -\frac{9y}{4} 加到 6y。

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

從方程式兩邊減去 \frac{39}{4}。

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{15}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{13}{3}$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4} 中以 \frac{13}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

-\frac{3}{4} 乘上 \frac{13}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

將 \frac{13}{4} 與 -\frac{13}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

化簡。

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+9y=39 減去 12x+24y=104。

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-24y=39-104$$

將 9y 加到 -24y。

$$-15y=39-104$$

將 39 加到 -104。

$$-15y=-65$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=\frac{13}{3}$$

在 3x+6y=26 中以 \frac{13}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

6 乘上 \frac{13}{3}。

$$3x+26=26$$

從方程式兩邊減去 26。

$$3x=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$