解決{l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=-9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+2y=18$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$4x=-2y+18$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -2y+18。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 -3x-6y=27 中以 \frac{-y+9}{2} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

-3 乘上 \frac{-y+9}{2}。

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

將 \frac{3y}{2} 加到 -6y。

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

將 \frac{27}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-9$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2} 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -9。

$$x=\frac{9+9}{2}$$

將 \frac{9}{2} 與 \frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=-9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=-9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

讓 4x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

化簡。

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x-6y=-54 減去 -12x-24y=108。

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+24y=-54-108$$

將 -6y 加到 24y。

$$18y=-54-108$$

將 -54 加到 -108。

$$18y=-162$$

將兩邊同時除以 18。

$$y=-9$$

在 -3x-6y=27 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

-6 乘上 -9。

$$-3x+54=27$$

從方程式兩邊減去 54。

$$-3x=-27$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=-9$$