解決{l}{4x+2y=12}{7x+18y=19} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+2y=12$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$4x=-2y+12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -2y+12。

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

在另一個方程式 7x+18y=19 中以 -\frac{y}{2}+3 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

7 乘上 -\frac{y}{2}+3。

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 18y。

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

從方程式兩邊減去 21。

$$\frac{29}{2}y=-2$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{4}{29}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+3 中以 -\frac{4}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

-\frac{1}{2} 乘上 -\frac{4}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{2}{29}+3$$

將 3 加到 \frac{2}{29}。

$$x=\frac{89}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

讓 4x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

化簡。

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x+14y=84 減去 28x+72y=76。

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y-72y=84-76$$

將 14y 加到 -72y。

$$-58y=84-76$$

將 84 加到 -76。

$$-58y=8$$

將兩邊同時除以 -58。

$$y=-\frac{4}{29}$$

在 7x+18y=19 中以 -\frac{4}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

18 乘上 -\frac{4}{29}。

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

將 \frac{72}{29} 加到方程式的兩邊。

$$7x=\frac{623}{29}$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{89}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$