解決{l}{4x+2y=11}{3x-5y=-8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 11 } \\ { 3 x - 5 y = - 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+2y=11,3x-5y=-8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+2y=11$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$4x=-2y+11$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+11\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -2y+11。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}$$

在另一個方程式 3x-5y=-8 中以 -\frac{y}{2}+\frac{11}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}\right)-5y=-8$$

3 乘上 -\frac{y}{2}+\frac{11}{4}。

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{4}-5y=-8$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 -5y。

$$-\frac{13}{2}y+\frac{33}{4}=-8$$

從方程式兩邊減去 \frac{33}{4}。

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{65}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{5}{2}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{4} 中以 \frac{5}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}+\frac{11}{4}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{5}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-5+11}{4}$$

將 \frac{11}{4} 與 -\frac{5}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+2y=11,3x-5y=-8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\times 3}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-2\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&\frac{1}{13}\\\frac{3}{26}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\times 11+\frac{1}{13}\left(-8\right)\\\frac{3}{26}\times 11-\frac{2}{13}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+2y=11,3x-5y=-8$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\times 2y=3\times 11,4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\left(-8\right)$$

化簡。

$$12x+6y=33,12x-20y=-32$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+6y=33 減去 12x-20y=-32。

$$12x-12x+6y+20y=33+32$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+20y=33+32$$

將 6y 加到 20y。

$$26y=33+32$$

將 33 加到 32。

$$26y=65$$

將兩邊同時除以 26。

$$y=\frac{5}{2}$$

在 3x-5y=-8 中以 \frac{5}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-5\times \frac{5}{2}=-8$$

-5 乘上 \frac{5}{2}。

$$3x-\frac{25}{2}=-8$$

將 \frac{25}{2} 加到方程式的兩邊。

$$3x=\frac{9}{2}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{5}{2}$$