解決{l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

解 a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a_{1}: 將 a_{1} 單獨置於等號的左邊。

$$4a_{1}+6d=3$$

從方程式兩邊減去 6d。

$$4a_{1}=-6d+3$$

將兩邊同時除以 4。

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -6d+3。

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

在另一個方程式 3a_{1}+21d=4 中以 -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} 代入 a_{1}在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

3 乘上 -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}。

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

將 -\frac{9d}{2} 加到 21d。

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{4}。

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{33}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$d=\frac{7}{66}$$

在 a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} 中以 \frac{7}{66} 代入 d。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a_{1}。

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{7}{66} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

將 \frac{3}{4} 與 -\frac{7}{44} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

現已成功解出系統。

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a_{1} 和 d。

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

讓 4a_{1} 和 3a_{1} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

化簡。

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12a_{1}+18d=9 減去 12a_{1}+84d=16。

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

將 12a_{1} 加到 -12a_{1}。 12a_{1} 和 -12a_{1} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18d-84d=9-16$$

將 18d 加到 -84d。

$$-66d=9-16$$

將 9 加到 -16。

$$-66d=-7$$

將兩邊同時除以 -66。

$$d=\frac{7}{66}$$

在 3a_{1}+21d=4 中以 \frac{7}{66} 代入 d。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a_{1}。

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

21 乘上 \frac{7}{66}。

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{49}{22}。

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

將兩邊同時除以 3。

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

現已成功解出系統。

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$