解決{l}{4a+5b=9}{2a-b=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$4a+5b=9$$

從方程式兩邊減去 5b。

$$4a=-5b+9$$

將兩邊同時除以 4。

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -5b+9。

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

在另一個方程式 2a-b=7 中以 \frac{-5b+9}{4} 代入 a在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

2 乘上 \frac{-5b+9}{4}。

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

將 -\frac{5b}{2} 加到 -b。

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-\frac{5}{7}$$

在 a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4} 中以 -\frac{5}{7} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

-\frac{5}{4} 乘上 -\frac{5}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

將 \frac{9}{4} 與 \frac{25}{28} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=\frac{22}{7}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

讓 4a 和 2a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

化簡。

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8a+10b=18 減去 8a-4b=28。

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

將 8a 加到 -8a。 8a 和 -8a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10b+4b=18-28$$

將 10b 加到 4b。

$$14b=18-28$$

將 18 加到 -28。

$$14b=-10$$

將兩邊同時除以 14。

$$b=-\frac{5}{7}$$

在 2a-b=7 中以 -\frac{5}{7} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{7}。

$$2a=\frac{44}{7}$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{22}{7}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$