解決{l}{36x-5y=7}{6x+3y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$36x-5y=7$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$36x=5y+7$$

將兩邊同時除以 36。

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{36} 乘上 5y+7。

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

在另一個方程式 6x+3y=8 中以 \frac{5y+7}{36} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

6 乘上 \frac{5y+7}{36}。

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

將 \frac{5y}{6} 加到 3y。

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{6}。

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{23}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{41}{23}$$

在 x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} 中以 \frac{41}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

\frac{5}{36} 乘上 \frac{41}{23} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

將 \frac{7}{36} 與 \frac{205}{828} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{61}{138}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

讓 36x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 36。

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

化簡。

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 216x-30y=42 減去 216x+108y=288。

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

將 216x 加到 -216x。 216x 和 -216x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-30y-108y=42-288$$

將 -30y 加到 -108y。

$$-138y=42-288$$

將 42 加到 -288。

$$-138y=-246$$

將兩邊同時除以 -138。

$$y=\frac{41}{23}$$

在 6x+3y=8 中以 \frac{41}{23} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

3 乘上 \frac{41}{23}。

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{123}{23}。

$$6x=\frac{61}{23}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{61}{138}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$