解決{l}{342=23m+b}{147=10m+b} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

解 m、b

$$m=15$$

$$b=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$23m+b=342$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$10m+b=147$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$23m+b=342,10m+b=147$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$23m+b=342$$

從方程式兩邊減去 b。

$$23m=-b+342$$

將兩邊同時除以 23。

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

\frac{1}{23} 乘上 -b+342。

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

在另一個方程式 10m+b=147 中以 \frac{-b+342}{23} 代入 m在方程式。

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

10 乘上 \frac{-b+342}{23}。

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

將 -\frac{10b}{23} 加到 b。

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

從方程式兩邊減去 \frac{3420}{23}。

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{23}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-3$$

在 m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23} 中以 -3 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

-\frac{1}{23} 乘上 -3。

$$m=\frac{3+342}{23}$$

將 \frac{342}{23} 與 \frac{3}{23} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=15$$

現已成功解出系統。

$$m=15,b=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$23m+b=342$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$10m+b=147$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$23m+b=342,10m+b=147$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 b。

$$m=15,b=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$23m+b=342$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$10m+b=147$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$23m+b=342,10m+b=147$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 23m+b=342 減去 10m+b=147。

$$23m-10m+b-b=342-147$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$23m-10m=342-147$$

將 23m 加到 -10m。

$$13m=342-147$$

將 342 加到 -147。

$$13m=195$$

將兩邊同時除以 13。

$$m=15$$

在 10m+b=147 中以 15 代入 m。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$10\times 15+b=147$$

10 乘上 15。

$$150+b=147$$

從方程式兩邊減去 150。

$$b=-3$$

現已成功解出系統。

$$m=15,b=-3$$