解決{l}{3.4x=x+y/2}{4y=x+y/2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3.4 x = \frac { x + y } { 2 } } \\ { 4 y = \frac { x + y } { 2 } } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6.8x=x+y$$

從兩邊減去 x。

$$6.8x-x=y$$

合併 6.8x 和 -x 以取得 5.8x。

$$5.8x=y$$

對方程式的兩邊同時除以 5.8，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{5}{29}y$$

在另一個方程式 -x+7y=0 中以 \frac{5y}{29} 代入 x在方程式。

$$-\frac{5}{29}y+7y=0$$

將 -\frac{5y}{29} 加到 7y。

$$\frac{198}{29}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{198}{29}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{5}{29}y 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6.8x=x+y$$

從兩邊減去 x。

$$6.8x-x=y$$

合併 6.8x 和 -x 以取得 5.8x。

$$5.8x=y$$

從兩邊減去 y。

$$5.8x-y=0$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$8y=x+y$$

從兩邊減去 x。

$$8y-x=y$$

從兩邊減去 y。

$$8y-x-y=0$$

合併 8y 和 -y 以取得 7y。

$$7y-x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5.8x-y=0,-x+7y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5.8}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{198}&\frac{5}{198}\\\frac{5}{198}&\frac{29}{198}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$6.8x=x+y$$

從兩邊減去 x。

$$6.8x-x=y$$

合併 6.8x 和 -x 以取得 5.8x。

$$5.8x=y$$

從兩邊減去 y。

$$5.8x-y=0$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 2。

$$8y=x+y$$

從兩邊減去 x。

$$8y-x=y$$

從兩邊減去 y。

$$8y-x-y=0$$

合併 8y 和 -y 以取得 7y。

$$7y-x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5.8x-y=0,-x+7y=0$$

讓 \frac{29x}{5} 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5.8。

$$-5.8x-\left(-y\right)=0,5.8\left(-1\right)x+5.8\times 7y=0$$

化簡。

$$-5.8x+y=0,-5.8x+40.6y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5.8x+y=0 減去 -5.8x+40.6y=0。

$$-5.8x+5.8x+y-40.6y=0$$

將 -\frac{29x}{5} 加到 \frac{29x}{5}。 -\frac{29x}{5} 和 \frac{29x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-40.6y=0$$

將 y 加到 -\frac{203y}{5}。

$$-39.6y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -39.6，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 -x+7y=0 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x=0$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$