解決{l}{3y-6=x}{x-9=2y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=39$$

$$y=15$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$3y-6-x=0$$

新增 6 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3y-x=6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-9-2y=0$$

新增 9 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-2y=9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$3y-x=6$$

將 x 加到方程式的兩邊。

$$3y=x+6$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 x+6。

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

在另一個方程式 -2y+x=9 中以 \frac{x}{3}+2 代入 y在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

-2 乘上 \frac{x}{3}+2。

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

將 -\frac{2x}{3} 加到 x。

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{3}x=13$$

將兩邊同時乘上 3。

$$x=39$$

在 y=\frac{1}{3}x+2 中以 39 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

\frac{1}{3} 乘上 39。

$$y=13+2$$

將 2 加到 13。

$$y=15$$

現已成功解出系統。

$$y=15,x=39$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$3y-6-x=0$$

新增 6 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3y-x=6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-9-2y=0$$

新增 9 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-2y=9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=15,x=39$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$3y-6-x=0$$

新增 6 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3y-x=6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$x-9-2y=0$$

新增 9 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-2y=9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

讓 3y 和 -2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

化簡。

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6y+2x=-12 減去 -6y+3x=27。

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

將 -6y 加到 6y。 -6y 和 6y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-3x=-12-27$$

將 2x 加到 -3x。

$$-x=-12-27$$

將 -12 加到 -27。

$$-x=-39$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=39$$

在 -2y+x=9 中以 39 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-2y+39=9$$

從方程式兩邊減去 39。

$$-2y=-30$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=15$$

現已成功解出系統。

$$y=15,x=39$$