解決{l}{3y=6x-3}{2x=7-y} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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https://socratic.org/questions/if-a-3-x-2y-0-and-b-4-6-3-1-what-is-a-b

https://math.stackexchange.com/questions/697600/natural-uses-for-the-co-product-of-sets

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3y-6x=-3

考慮第一個方程式。從兩邊減去 6x。

2x+y=7

考慮第二個方程式。新增 y 至兩側。

3y-6x=-3,y+2x=7

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3y-6x=-3

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

3y=6x-3

將 6x 加到方程式的兩邊。

y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)

將兩邊同時除以 3。

y=2x-1

\frac{1}{3} 乘上 6x-3。

2x-1+2x=7

在另一個方程式 y+2x=7 中以 2x-1 代入 y在方程式。

4x-1=7

將 2x 加到 2x。

4x=8

將 1 加到方程式的兩邊。

x=2

將兩邊同時除以 4。

y=2\times 2-1

在 y=2x-1 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=4-1

2 乘上 2。

y=3

將 -1 加到 4。

y=3,x=2

現已成功解出系統。

3y-6x=-3

考慮第一個方程式。從兩邊減去 6x。

2x+y=7

考慮第二個方程式。新增 y 至兩側。

3y-6x=-3,y+2x=7

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)

計算。

y=3,x=2

解出矩陣元素 y 和 x。

3y-6x=-3

考慮第一個方程式。從兩邊減去 6x。

2x+y=7

考慮第二個方程式。新增 y 至兩側。

3y-6x=-3,y+2x=7

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7