解決{l}{3y+x=31}{2y+3x=44} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

解 y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$3y+x=31$$

從方程式兩邊減去 x。

$$3y=-x+31$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -x+31。

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

在另一個方程式 2y+3x=44 中以 \frac{-x+31}{3} 代入 y在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2 乘上 \frac{-x+31}{3}。

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

將 -\frac{2x}{3} 加到 3x。

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

從方程式兩邊減去 \frac{62}{3}。

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=10$$

在 y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 10。

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

將 \frac{31}{3} 與 -\frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=7$$

現已成功解出系統。

$$y=7,x=10$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=7,x=10$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

讓 3y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

化簡。

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6y+2x=62 減去 6y+9x=132。

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

將 6y 加到 -6y。 6y 和 -6y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-9x=62-132$$

將 2x 加到 -9x。

$$-7x=62-132$$

將 62 加到 -132。

$$-7x=-70$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=10$$

在 2y+3x=44 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+3\times 10=44$$

3 乘上 10。

$$2y+30=44$$

從方程式兩邊減去 30。

$$2y=14$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=7$$

現已成功解出系統。

$$y=7,x=10$$