解決{l}{3y+2x=75}{x+y=50} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=75$$

$$y=-25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3y+2x=75,y+x=50$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$3y+2x=75$$

從方程式兩邊減去 2x。

$$3y=-2x+75$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2x+75。

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

在另一個方程式 y+x=50 中以 -\frac{2x}{3}+25 代入 y在方程式。

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

將 -\frac{2x}{3} 加到 x。

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

從方程式兩邊減去 25。

$$\frac{1}{3}x=25$$

將兩邊同時乘上 3。

$$x=75$$

在 y=-\frac{2}{3}x+25 中以 75 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

-\frac{2}{3} 乘上 75。

$$y=-50+25$$

將 25 加到 -50。

$$y=-25$$

現已成功解出系統。

$$y=-25,x=75$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3y+2x=75,y+x=50$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-25,x=75$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3y+2x=75,y+x=50$$

讓 3y 和 y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

化簡。

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3y+2x=75 減去 3y+3x=150。

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-3x=75-150$$

將 2x 加到 -3x。

$$-x=75-150$$

將 75 加到 -150。

$$-x=-75$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=75$$

在 y+x=50 中以 75 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+75=50$$

從方程式兩邊減去 75。

$$y=-25$$

現已成功解出系統。

$$y=-25,x=75$$