解決{l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y-2=0$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$3x-y=2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+2。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 2x+y-8=0 中以 \frac{2+y}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

2 乘上 \frac{2+y}{3}。

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

將 \frac{2y}{3} 加到 y。

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

將 \frac{4}{3} 加到 -8。

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

將 \frac{20}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 4。

$$x=\frac{4+2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

化簡。

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-2y-4=0 減去 6x+3y-24=0。

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-3y-4+24=0$$

將 -2y 加到 -3y。

$$-5y-4+24=0$$

將 -4 加到 24。

$$-5y+20=0$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-5y=-20$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=4$$

在 2x+y-8=0 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+4-8=0$$

將 4 加到 -8。

$$2x-4=0$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$2x=4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=4$$