解決{l}{3x-y=5}{y=7-x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 5 } \\ { y = 7 - x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=7$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=5,x+y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=5$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+5。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 x+y=7 中以 \frac{5+y}{3} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}+y=7$$

將 \frac{y}{3} 加到 y。

$$\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{3}。

$$\frac{4}{3}y=\frac{16}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=4$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 4。

$$x=\frac{4+5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=4$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=7$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=5,x+y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=4$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=7$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=5,x+y=7$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x-y=5,3x+3y=3\times 7$$

化簡。

$$3x-y=5,3x+3y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-y=5 減去 3x+3y=21。

$$3x-3x-y-3y=5-21$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-3y=5-21$$

將 -y 加到 -3y。

$$-4y=5-21$$

將 5 加到 -21。

$$-4y=-16$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=4$$

在 x+y=7 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+4=7$$

從方程式兩邊減去 4。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=4$$