解決{l}{3x-y=-3}{3x+2y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = - 3 } \\ { 3 x + 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=-3,3x+2y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=-3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y-3\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y-3。

$$x=\frac{1}{3}y-1$$

在另一個方程式 3x+2y=6 中以 \frac{y}{3}-1 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{3}y-1\right)+2y=6$$

3 乘上 \frac{y}{3}-1。

$$y-3+2y=6$$

將 y 加到 2y。

$$3y-3=6$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$3y=9$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=3$$

在 x=\frac{1}{3}y-1 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 3-1$$

\frac{1}{3} 乘上 3。

$$x=1-1$$

將 -1 加到 1。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=-3,3x+2y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 6\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=-3,3x+2y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-y=-3 減去 3x+2y=6。

$$3x-3x-y-2y=-3-6$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-2y=-3-6$$

將 -y 加到 -2y。

$$-3y=-3-6$$

將 -3 加到 -6。

$$-3y=-9$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=3$$

在 3x+2y=6 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times 3=6$$

2 乘上 3。

$$3x+6=6$$

從方程式兩邊減去 6。

$$3x=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=3$$