解決{l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y+2=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$3x-y=-2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y-2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y-2。

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 5x-2y+1=0 中以 \frac{-2+y}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

5 乘上 \frac{-2+y}{3}。

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

將 \frac{5y}{3} 加到 -2y。

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

將 -\frac{10}{3} 加到 1。

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

將 \frac{7}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=-7$$

在 x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 -7。

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

將 -\frac{2}{3} 與 -\frac{7}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

化簡。

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-5y+10=0 減去 15x-6y+3=0。

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+6y+10-3=0$$

將 -5y 加到 6y。

$$y+10-3=0$$

將 10 加到 -3。

$$y+7=0$$

從方程式兩邊減去 7。

$$y=-7$$

在 5x-2y+1=0 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

-2 乘上 -7。

$$5x+14+1=0$$

將 14 加到 1。

$$5x+15=0$$

從方程式兩邊減去 15。

$$5x=-15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-7$$