解決{l}{3x-9=y}{9y+3=x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$3x-9-y=0$$

新增 9 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3x-y=9$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$9y+3-x=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$9y-x=-3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=9$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+9$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+9。

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

在另一個方程式 -x+9y=-3 中以 \frac{y}{3}+3 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

-1 乘上 \frac{y}{3}+3。

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

將 -\frac{y}{3} 加到 9y。

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$\frac{26}{3}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{26}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{1}{3}y+3 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$3x-9-y=0$$

新增 9 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3x-y=9$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$9y+3-x=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$9y-x=-3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$3x-9-y=0$$

新增 9 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$3x-y=9$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$9y+3-x=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$9y-x=-3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

讓 3x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

化簡。

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+y=-9 減去 -3x+27y=-9。

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-27y=-9+9$$

將 y 加到 -27y。

$$-26y=-9+9$$

將 -9 加到 9。

$$-26y=0$$

將兩邊同時除以 -26。

$$y=0$$

在 -x+9y=-3 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x=-3$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=0$$