解決{l}{3x-7y=2}{-5x+2y=-13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 2 } \\ { - 5 x + 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-7y=2$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$3x=7y+2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 7y+2。

$$x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 -5x+2y=-13 中以 \frac{7y+2}{3} 代入 x在方程式。

$$-5\left(\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=-13$$

-5 乘上 \frac{7y+2}{3}。

$$-\frac{35}{3}y-\frac{10}{3}+2y=-13$$

將 -\frac{35y}{3} 加到 2y。

$$-\frac{29}{3}y-\frac{10}{3}=-13$$

將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{29}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7+2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{7}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&-\frac{-7}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}&-\frac{7}{29}\\-\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}\times 2-\frac{7}{29}\left(-13\right)\\-\frac{5}{29}\times 2-\frac{3}{29}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

讓 3x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-5\times 3x-5\left(-7\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\left(-13\right)$$

化簡。

$$-15x+35y=-10,-15x+6y=-39$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -15x+35y=-10 減去 -15x+6y=-39。

$$-15x+15x+35y-6y=-10+39$$

將 -15x 加到 15x。 -15x 和 15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$35y-6y=-10+39$$

將 35y 加到 -6y。

$$29y=-10+39$$

將 -10 加到 39。

$$29y=29$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=1$$

在 -5x+2y=-13 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+2=-13$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-5x=-15$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$