解決{l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-5y=-6$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$3x=5y-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 5y-6。

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

在另一個方程式 2x-3y=-5 中以 \frac{5y}{3}-2 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

2 乘上 \frac{5y}{3}-2。

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

將 \frac{10y}{3} 加到 -3y。

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{3}y=-1$$

將兩邊同時乘上 3。

$$y=-3$$

在 x=\frac{5}{3}y-2 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

\frac{5}{3} 乘上 -3。

$$x=-5-2$$

將 -2 加到 -5。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-7,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

化簡。

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-10y=-12 減去 6x-9y=-15。

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y+9y=-12+15$$

將 -10y 加到 9y。

$$-y=-12+15$$

將 -12 加到 15。

$$-y=3$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-3$$

在 2x-3y=-5 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

-3 乘上 -3。

$$2x+9=-5$$

從方程式兩邊減去 9。

$$2x=-14$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=-3$$