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解 x, y
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3x-5y=-18,3x-2y=9
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x-5y=-18
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=5y-18
將 5y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{5}{3}y-6
\frac{1}{3} 乘上 5y-18。
3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9
在另一個方程式 3x-2y=9 中以 \frac{5y}{3}-6 代入 x在方程式。
5y-18-2y=9
3 乘上 \frac{5y}{3}-6。
3y-18=9
將 5y 加到 -2y。
3y=27
將 18 加到方程式的兩邊。
y=9
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{5}{3}\times 9-6
在 x=\frac{5}{3}y-6 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=15-6
\frac{5}{3} 乘上 9。
x=9
將 -6 加到 15。
x=9,y=9
現已成功解出系統。
3x-5y=-18,3x-2y=9
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)
計算。
x=9,y=9
解出矩陣元素 x 和 y。
3x-5y=-18,3x-2y=9
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3x-3x-5y+2y=-18-9
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 3x-5y=-18 減去 3x-2y=9。
-5y+2y=-18-9
將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-3y=-18-9
將 -5y 加到 2y。
-3y=-27
將 -18 加到 -9。
y=9
將兩邊同時除以 -3。
3x-2\times 9=9
在 3x-2y=9 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
3x-18=9
-2 乘上 9。
3x=27
將 18 加到方程式的兩邊。
x=9
將兩邊同時除以 3。
x=9,y=9
現已成功解出系統。