解決{l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-5y=-18$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$3x=5y-18$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 5y-18。

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

在另一個方程式 3x-2y=9 中以 \frac{5y}{3}-6 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

3 乘上 \frac{5y}{3}-6。

$$5y-18-2y=9$$

將 5y 加到 -2y。

$$3y-18=9$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$3y=27$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=9$$

在 x=\frac{5}{3}y-6 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

\frac{5}{3} 乘上 9。

$$x=15-6$$

將 -6 加到 15。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-5y=-18 減去 3x-2y=9。

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+2y=-18-9$$

將 -5y 加到 2y。

$$-3y=-18-9$$

將 -18 加到 -9。

$$-3y=-27$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=9$$

在 3x-2y=9 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\times 9=9$$

-2 乘上 9。

$$3x-18=9$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$3x=27$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=9$$