解決{l}{3x-4y=12}{y=-3x-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=-3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-4y=12$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$3x=4y+12$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 12+4y。

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

在另一個方程式 3x+y=-3 中以 4+\frac{4y}{3} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

3 乘上 4+\frac{4y}{3}。

$$4y+12+y=-3$$

將 4y 加到 y。

$$5y+12=-3$$

從方程式兩邊減去 12。

$$5y=-15$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-3$$

在 x=\frac{4}{3}y+4 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

\frac{4}{3} 乘上 -3。

$$x=-4+4$$

將 4 加到 -4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=-3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=-3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-4y=12 減去 3x+y=-3。

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-y=12+3$$

將 -4y 加到 -y。

$$-5y=12+3$$

將 12 加到 3。

$$-5y=15$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-3$$

在 3x+y=-3 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-3=-3$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$3x=0$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-3$$