解決{l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-3y=2$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$3x=3y+2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 3y+2。

$$x=y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 4x+7y=-3 中以 y+\frac{2}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

4 乘上 y+\frac{2}{3}。

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

將 4y 加到 7y。

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$11y=-\frac{17}{3}$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=-\frac{17}{33}$$

在 x=y+\frac{2}{3} 中以 -\frac{17}{33} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 -\frac{17}{33} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{33}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

化簡。

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-12y=8 減去 12x+21y=-9。

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-21y=8+9$$

將 -12y 加到 -21y。

$$-33y=8+9$$

將 8 加到 9。

$$-33y=17$$

將兩邊同時除以 -33。

$$y=-\frac{17}{33}$$

在 4x+7y=-3 中以 -\frac{17}{33} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

7 乘上 -\frac{17}{33}。

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

將 \frac{119}{33} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{20}{33}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{5}{33}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$