解 x、y
x=-3
y=-7
圖表
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3x-2y=5,2x-3y=15
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x-2y=5
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=2y+5
將 2y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}
\frac{1}{3} 乘上 2y+5。
2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15
在另一個方程式 2x-3y=15 中以 \frac{2y+5}{3} 代入 x在方程式。
\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15
2 乘上 \frac{2y+5}{3}。
-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15
將 \frac{4y}{3} 加到 -3y。
-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{10}{3}。
y=-7
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}
在 x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-14+5}{3}
\frac{2}{3} 乘上 -7。
x=-3
將 \frac{5}{3} 與 -\frac{14}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-3,y=-7
現已成功解出系統。
3x-2y=5,2x-3y=15
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)
計算。
x=-3,y=-7
解出矩陣元素 x 和 y。
3x-2y=5,2x-3y=15
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15
讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
6x-4y=10,6x-9y=45
化簡。
6x-6x-4y+9y=10-45
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-4y=10 減去 6x-9y=45。
-4y+9y=10-45
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
5y=10-45
將 -4y 加到 9y。
5y=-35
將 10 加到 -45。
y=-7
將兩邊同時除以 5。
2x-3\left(-7\right)=15
在 2x-3y=15 中以 -7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x+21=15
-3 乘上 -7。
2x=-6
從方程式兩邊減去 21。
x=-3
將兩邊同時除以 2。
x=-3,y=-7
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}