解決{l}{3x+y=5}{7x+y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=5,7x+y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 7x+y=6 中以 \frac{-y+5}{3} 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

7 乘上 \frac{-y+5}{3}。

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

將 -\frac{7y}{3} 加到 y。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{35}{3}。

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{17}{4}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} 中以 \frac{17}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{17}{4} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 -\frac{17}{12} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=5,7x+y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=5,7x+y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+y=5 減去 7x+y=6。

$$3x-7x+y-y=5-6$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-7x=5-6$$

將 3x 加到 -7x。

$$-4x=5-6$$

將 5 加到 -6。

$$-4x=-1$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=\frac{1}{4}$$

在 7x+y=6 中以 \frac{1}{4} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

7 乘上 \frac{1}{4}。

$$\frac{7}{4}+y=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{4}。

$$y=\frac{17}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$