解決{l}{3x+y=5}{2x+y=10} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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3x+y=5,2x+y=10

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3x+y=5

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

3x=-y+5

從方程式兩邊減去 y。

x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)

將兩邊同時除以 3。

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}

\frac{1}{3} 乘上 -y+5。

2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10

在另一個方程式 2x+y=10 中以 \frac{-y+5}{3} 代入 x在方程式。

-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10

2 乘上 \frac{-y+5}{3}。

\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10

將 -\frac{2y}{3} 加到 y。

\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}

從方程式兩邊減去 \frac{10}{3}。

y=20

將兩邊同時乘上 3。

x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} 中以 20 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{-20+5}{3}

-\frac{1}{3} 乘上 20。

x=-5

將 \frac{5}{3} 與 -\frac{20}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=-5,y=20

現已成功解出系統。

3x+y=5,2x+y=10

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)

計算。

x=-5,y=20

解出矩陣元素 x 和 y。

3x+y=5,2x+y=10

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3x-2x+y-y=5-10

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+y=5 減去 2x+y=10。