解決{l}{3x+y=4}{6x+y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 6 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=4,6x+y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=4$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+4。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 6x+y=4 中以 \frac{-y+4}{3} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=4$$

6 乘上 \frac{-y+4}{3}。

$$-2y+8+y=4$$

將 -2y 加到 y。

$$-y+8=4$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-y=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=4$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 4。

$$x=\frac{-4+4}{3}$$

將 \frac{4}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=4,6x+y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{1}{3-6}\\-\frac{6}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 4\\2\times 4-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=4,6x+y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+y=4 減去 6x+y=4。

$$3x-6x+y-y=4-4$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-6x=4-4$$

將 3x 加到 -6x。

$$-3x=4-4$$

將 4 加到 -4。

$$-3x=0$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=0$$

在 6x+y=4 中以 0 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=4$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=4$$