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解 x, y
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3x+7y=63,2x+4y=38
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+7y=63
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=-7y+63
從方程式兩邊減去 7y。
x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-\frac{7}{3}y+21
\frac{1}{3} 乘上 -7y+63。
2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38
在另一個方程式 2x+4y=38 中以 -\frac{7y}{3}+21 代入 x在方程式。
-\frac{14}{3}y+42+4y=38
2 乘上 -\frac{7y}{3}+21。
-\frac{2}{3}y+42=38
將 -\frac{14y}{3} 加到 4y。
-\frac{2}{3}y=-4
從方程式兩邊減去 42。
y=6
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{3},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{7}{3}\times 6+21
在 x=-\frac{7}{3}y+21 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-14+21
-\frac{7}{3} 乘上 6。
x=7
將 21 加到 -14。
x=7,y=6
現已成功解出系統。
3x+7y=63,2x+4y=38
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)
計算。
x=7,y=6
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+7y=63,2x+4y=38
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38
讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
6x+14y=126,6x+12y=114
化簡。
6x-6x+14y-12y=126-114
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 6x+14y=126 減去 6x+12y=114。
14y-12y=126-114
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
2y=126-114
將 14y 加到 -12y。
2y=12
將 126 加到 -114。
y=6
將兩邊同時除以 2。
2x+4\times 6=38
在 2x+4y=38 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
2x+24=38
4 乘上 6。
2x=14
從方程式兩邊減去 24。
x=7
將兩邊同時除以 2。
x=7,y=6
現已成功解出系統。