解決{l}{3x+7y=13}{5x-4y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 13 } \\ { 5 x - 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+7y=13$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$3x=-7y+13$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+13\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -7y+13。

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}$$

在另一個方程式 5x-4y=6 中以 \frac{-7y+13}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3}\right)-4y=6$$

5 乘上 \frac{-7y+13}{3}。

$$-\frac{35}{3}y+\frac{65}{3}-4y=6$$

將 -\frac{35y}{3} 加到 -4y。

$$-\frac{47}{3}y+\frac{65}{3}=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{65}{3}。

$$-\frac{47}{3}y=-\frac{47}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{47}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{7}{3}y+\frac{13}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-7+13}{3}$$

將 \frac{13}{3} 與 -\frac{7}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-7\times 5}&-\frac{7}{3\left(-4\right)-7\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-7\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}&\frac{7}{47}\\\frac{5}{47}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{47}\times 13+\frac{7}{47}\times 6\\\frac{5}{47}\times 13-\frac{3}{47}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+7y=13,5x-4y=6$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\times 7y=5\times 13,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

化簡。

$$15x+35y=65,15x-12y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+35y=65 減去 15x-12y=18。

$$15x-15x+35y+12y=65-18$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$35y+12y=65-18$$

將 35y 加到 12y。

$$47y=65-18$$

將 65 加到 -18。

$$47y=47$$

將兩邊同時除以 47。

$$y=1$$

在 5x-4y=6 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-4=6$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$5x=10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1$$