解決{l}{3x+7y=10}{4x-19y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+7y=10$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$3x=-7y+10$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -7y+10。

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 4x-19y=7 中以 \frac{-7y+10}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

4 乘上 \frac{-7y+10}{3}。

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

將 -\frac{28y}{3} 加到 -19y。

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{40}{3}。

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{85}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{19}{85}$$

在 x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3} 中以 \frac{19}{85} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

-\frac{7}{3} 乘上 \frac{19}{85} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

將 \frac{10}{3} 與 -\frac{133}{255} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{239}{85}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

化簡。

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+28y=40 減去 12x-57y=21。

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$28y+57y=40-21$$

將 28y 加到 57y。

$$85y=40-21$$

將 40 加到 -21。

$$85y=19$$

將兩邊同時除以 85。

$$y=\frac{19}{85}$$

在 4x-19y=7 中以 \frac{19}{85} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

-19 乘上 \frac{19}{85}。

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

將 \frac{361}{85} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{956}{85}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{239}{85}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$