解決{l}{3x+5y=7}{2x+y=-9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=7$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+7$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+7。

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

在另一個方程式 2x+y=-9 中以 \frac{-5y+7}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

2 乘上 \frac{-5y+7}{3}。

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

將 -\frac{10y}{3} 加到 y。

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

從方程式兩邊減去 \frac{14}{3}。

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{41}{7}$$

在 x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3} 中以 \frac{41}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 \frac{41}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

將 \frac{7}{3} 與 -\frac{205}{21} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{52}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

化簡。

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+10y=14 減去 6x+3y=-27。

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-3y=14+27$$

將 10y 加到 -3y。

$$7y=14+27$$

將 14 加到 27。

$$7y=41$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=\frac{41}{7}$$

在 2x+y=-9 中以 \frac{41}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

從方程式兩邊減去 \frac{41}{7}。

$$2x=-\frac{104}{7}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-\frac{52}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$