解決{l}{3x+5y=21}{5x+2y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=21$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+21$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+21。

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

在另一個方程式 5x+2y=4 中以 -\frac{5y}{3}+7 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

5 乘上 -\frac{5y}{3}+7。

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

將 -\frac{25y}{3} 加到 2y。

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

從方程式兩邊減去 35。

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{19}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{93}{19}$$

在 x=-\frac{5}{3}y+7 中以 \frac{93}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

-\frac{5}{3} 乘上 \frac{93}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

將 7 加到 -\frac{155}{19}。

$$x=-\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

化簡。

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+25y=105 減去 15x+6y=12。

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y-6y=105-12$$

將 25y 加到 -6y。

$$19y=105-12$$

將 105 加到 -12。

$$19y=93$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=\frac{93}{19}$$

在 5x+2y=4 中以 \frac{93}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

2 乘上 \frac{93}{19}。

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{186}{19}。

$$5x=-\frac{110}{19}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$