解決{l}{3x+5y=14}{2x+4y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=14,2x+4y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=14$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+14$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+14\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+14。

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}$$

在另一個方程式 2x+4y=10 中以 \frac{-5y+14}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{14}{3}\right)+4y=10$$

2 乘上 \frac{-5y+14}{3}。

$$-\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}+4y=10$$

將 -\frac{10y}{3} 加到 4y。

$$\frac{2}{3}y+\frac{28}{3}=10$$

從方程式兩邊減去 \frac{28}{3}。

$$\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{5}{3}y+\frac{14}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-5+14}{3}$$

將 \frac{14}{3} 與 -\frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=14,2x+4y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-5\times 2}&\frac{3}{3\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-\frac{5}{2}\times 10\\-14+\frac{3}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=14,2x+4y=10$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 14,3\times 2x+3\times 4y=3\times 10$$

化簡。

$$6x+10y=28,6x+12y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+10y=28 減去 6x+12y=30。

$$6x-6x+10y-12y=28-30$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-12y=28-30$$

將 10y 加到 -12y。

$$-2y=28-30$$

將 28 加到 -30。

$$-2y=-2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=1$$

在 2x+4y=10 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+4=10$$

從方程式兩邊減去 4。

$$2x=6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$