解決{l}{3x+5y=10}{2x-y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 10 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=10$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+10$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+10\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+10。

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

在另一個方程式 2x-y=5 中以 \frac{-5y+10}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=5$$

2 乘上 \frac{-5y+10}{3}。

$$-\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}-y=5$$

將 -\frac{10y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{13}{3}y+\frac{20}{3}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{20}{3}。

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{5}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{5}{13}$$

在 x=-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3} 中以 \frac{5}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{13}+\frac{10}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 \frac{5}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{10}{3}$$

將 \frac{10}{3} 與 -\frac{25}{39} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{35}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 10+\frac{5}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 10-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=10,2x-y=5$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 10,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 5$$

化簡。

$$6x+10y=20,6x-3y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+10y=20 減去 6x-3y=15。

$$6x-6x+10y+3y=20-15$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y+3y=20-15$$

將 10y 加到 3y。

$$13y=20-15$$

將 20 加到 -15。

$$13y=5$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=\frac{5}{13}$$

在 2x-y=5 中以 \frac{5}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-\frac{5}{13}=5$$

將 \frac{5}{13} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{70}{13}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{35}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{13},y=\frac{5}{13}$$