解決{l}{3x+5y=-8}{4x+13y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 8 } \\ { 4 x + 13 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-6$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=-8$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y-8$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-8\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y-8。

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 4x+13y=2 中以 \frac{-5y-8}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}\right)+13y=2$$

4 乘上 \frac{-5y-8}{3}。

$$-\frac{20}{3}y-\frac{32}{3}+13y=2$$

將 -\frac{20y}{3} 加到 13y。

$$\frac{19}{3}y-\frac{32}{3}=2$$

將 \frac{32}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{19}{3}y=\frac{38}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 2。

$$x=\frac{-10-8}{3}$$

將 -\frac{8}{3} 與 -\frac{10}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3\times 13-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 13-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 13-5\times 4}&\frac{3}{3\times 13-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\left(-8\right)-\frac{5}{19}\times 2\\-\frac{4}{19}\left(-8\right)+\frac{3}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-6,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\times 5y=4\left(-8\right),3\times 4x+3\times 13y=3\times 2$$

化簡。

$$12x+20y=-32,12x+39y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+20y=-32 減去 12x+39y=6。

$$12x-12x+20y-39y=-32-6$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-39y=-32-6$$

將 20y 加到 -39y。

$$-19y=-32-6$$

將 -32 加到 -6。

$$-19y=-38$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=2$$

在 4x+13y=2 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+13\times 2=2$$

13 乘上 2。

$$4x+26=2$$

從方程式兩邊減去 26。

$$4x=-24$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=2$$