解決{l}{3x+4y=85}{x+y=25} |Microsoft數學求解器

解 x, y

圖表

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3x+4y=85,x+y=25

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3x+4y=85

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

3x=-4y+85

從方程式兩邊減去 4y。

x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)

將兩邊同時除以 3。

x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}

\frac{1}{3} 乘上 -4y+85。

-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25

在另一個方程式 x+y=25 中以 \frac{-4y+85}{3} 代入 x在方程式。

-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25

將 -\frac{4y}{3} 加到 y。

-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}

從方程式兩邊減去 \frac{85}{3}。

y=10

將兩邊同時乘上 -3。

x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3} 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{-40+85}{3}

-\frac{4}{3} 乘上 10。

x=15

將 \frac{85}{3} 與 -\frac{40}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=15,y=10

現已成功解出系統。

3x+4y=85,x+y=25

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)

計算。

x=15,y=10

解出矩陣元素 x 和 y。

3x+4y=85,x+y=25

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3x+4y=85,3x+3y=3\times 25

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。