解決{l}{3x+4y=8}{8x-9y=-77} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - 9 y = - 77 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=8,8x-9y=-77$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=8$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y+8$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+8\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y+8。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 8x-9y=-77 中以 \frac{-4y+8}{3} 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}\right)-9y=-77$$

8 乘上 \frac{-4y+8}{3}。

$$-\frac{32}{3}y+\frac{64}{3}-9y=-77$$

將 -\frac{32y}{3} 加到 -9y。

$$-\frac{59}{3}y+\frac{64}{3}=-77$$

從方程式兩邊減去 \frac{64}{3}。

$$-\frac{59}{3}y=-\frac{295}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{59}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\times 5+\frac{8}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 5。

$$x=\frac{-20+8}{3}$$

將 \frac{8}{3} 與 -\frac{20}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=8,8x-9y=-77$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{3\left(-9\right)-4\times 8}&-\frac{4}{3\left(-9\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{3\left(-9\right)-4\times 8}&\frac{3}{3\left(-9\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{59}&\frac{4}{59}\\\frac{8}{59}&-\frac{3}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{59}\times 8+\frac{4}{59}\left(-77\right)\\\frac{8}{59}\times 8-\frac{3}{59}\left(-77\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=8,8x-9y=-77$$

讓 3x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 8,3\times 8x+3\left(-9\right)y=3\left(-77\right)$$

化簡。

$$24x+32y=64,24x-27y=-231$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 24x+32y=64 減去 24x-27y=-231。

$$24x-24x+32y+27y=64+231$$

將 24x 加到 -24x。 24x 和 -24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$32y+27y=64+231$$

將 32y 加到 27y。

$$59y=64+231$$

將 64 加到 231。

$$59y=295$$

將兩邊同時除以 59。

$$y=5$$

在 8x-9y=-77 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x-9\times 5=-77$$

-9 乘上 5。

$$8x-45=-77$$

將 45 加到方程式的兩邊。

$$8x=-32$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=5$$