解決{l}{3x+4y=3}{8x+7y=14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=3$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y+3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y+3。

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

在另一個方程式 8x+7y=14 中以 -\frac{4y}{3}+1 代入 x在方程式。

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

8 乘上 -\frac{4y}{3}+1。

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

將 -\frac{32y}{3} 加到 7y。

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-\frac{11}{3}y=6$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{18}{11}$$

在 x=-\frac{4}{3}y+1 中以 -\frac{18}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

-\frac{4}{3} 乘上 -\frac{18}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{24}{11}+1$$

將 1 加到 \frac{24}{11}。

$$x=\frac{35}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

讓 3x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

化簡。

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 24x+32y=24 減去 24x+21y=42。

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

將 24x 加到 -24x。 24x 和 -24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$32y-21y=24-42$$

將 32y 加到 -21y。

$$11y=24-42$$

將 24 加到 -42。

$$11y=-18$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=-\frac{18}{11}$$

在 8x+7y=14 中以 -\frac{18}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

7 乘上 -\frac{18}{11}。

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

將 \frac{126}{11} 加到方程式的兩邊。

$$8x=\frac{280}{11}$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{35}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$