解決{l}{3x+4y=28}{9x-6y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=28$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y+28$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y+28。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

在另一個方程式 9x-6y=8 中以 \frac{-4y+28}{3} 代入 x在方程式。

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

9 乘上 \frac{-4y+28}{3}。

$$-12y+84-6y=8$$

將 -12y 加到 -6y。

$$-18y+84=8$$

從方程式兩邊減去 84。

$$-18y=-76$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=\frac{38}{9}$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3} 中以 \frac{38}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 \frac{38}{9} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

將 \frac{28}{3} 與 -\frac{152}{27} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{100}{27}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

讓 3x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

化簡。

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27x+36y=252 減去 27x-18y=24。

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

將 27x 加到 -27x。 27x 和 -27x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y+18y=252-24$$

將 36y 加到 18y。

$$54y=252-24$$

將 252 加到 -24。

$$54y=228$$

將兩邊同時除以 54。

$$y=\frac{38}{9}$$

在 9x-6y=8 中以 \frac{38}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

-6 乘上 \frac{38}{9}。

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

將 \frac{76}{3} 加到方程式的兩邊。

$$9x=\frac{100}{3}$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{100}{27}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$