解決{l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=-4$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y-4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y-4。

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 4x+3y=6 中以 \frac{-4y-4}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

4 乘上 \frac{-4y-4}{3}。

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

將 -\frac{16y}{3} 加到 3y。

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

將 \frac{16}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{34}{7}$$

在 x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3} 中以 -\frac{34}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘上 -\frac{34}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

將 -\frac{4}{3} 與 \frac{136}{21} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{36}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

化簡。

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+16y=-16 減去 12x+9y=18。

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y-9y=-16-18$$

將 16y 加到 -9y。

$$7y=-16-18$$

將 -16 加到 -18。

$$7y=-34$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=-\frac{34}{7}$$

在 4x+3y=6 中以 -\frac{34}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

3 乘上 -\frac{34}{7}。

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

將 \frac{102}{7} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{144}{7}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{36}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$