解決{l}{3x+3y=12}{3x+2y=13} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 12 } \\ { 3 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+3y=12$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$3x=-3y+12$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -3y+12。

$$x=-y+4$$

在另一個方程式 3x+2y=13 中以 -y+4 代入 x在方程式。

$$3\left(-y+4\right)+2y=13$$

3 乘上 -y+4。

$$-3y+12+2y=13$$

將 -3y 加到 2y。

$$-y+12=13$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-y=1$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-1$$

在 x=-y+4 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-1\right)+4$$

-1 乘上 -1。

$$x=1+4$$

將 4 加到 1。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{3\times 2-3\times 3}&\frac{3}{3\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 12+13\\12-13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+3y=12,3x+2y=13$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+3y=12 減去 3x+2y=13。

$$3x-3x+3y-2y=12-13$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-2y=12-13$$

將 3y 加到 -2y。

$$y=12-13$$

將 12 加到 -13。

$$y=-1$$

在 3x+2y=13 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\left(-1\right)=13$$

2 乘上 -1。

$$3x-2=13$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$3x=15$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-1$$