解決{l}{3x+2y=87}{5x+6y=187} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=87$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+87$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+87。

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

在另一個方程式 5x+6y=187 中以 -\frac{2y}{3}+29 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

5 乘上 -\frac{2y}{3}+29。

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

將 -\frac{10y}{3} 加到 6y。

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

從方程式兩邊減去 145。

$$\frac{8}{3}y=42$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{63}{4}$$

在 x=-\frac{2}{3}y+29 中以 \frac{63}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

-\frac{2}{3} 乘上 \frac{63}{4} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

將 29 加到 -\frac{21}{2}。

$$x=\frac{37}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

化簡。

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+10y=435 減去 15x+18y=561。

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-18y=435-561$$

將 10y 加到 -18y。

$$-8y=435-561$$

將 435 加到 -561。

$$-8y=-126$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=\frac{63}{4}$$

在 5x+6y=187 中以 \frac{63}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

6 乘上 \frac{63}{4}。

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

從方程式兩邊減去 \frac{189}{2}。

$$5x=\frac{185}{2}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{37}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$