解決{l}{3x+2y=5}{2x-3y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=5,2x-3y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=5$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+5。

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 2x-3y=-1 中以 \frac{-2y+5}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=-1$$

2 乘上 \frac{-2y+5}{3}。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=-1$$

將 -\frac{4y}{3} 加到 -3y。

$$-\frac{13}{3}y+\frac{10}{3}=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{3}。

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{13}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=1$$

在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 -\frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=5,2x-3y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 5+\frac{2}{13}\left(-1\right)\\\frac{2}{13}\times 5-\frac{3}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=5,2x-3y=-1$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-1\right)$$

化簡。

$$6x+4y=10,6x-9y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+4y=10 減去 6x-9y=-3。

$$6x-6x+4y+9y=10+3$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+9y=10+3$$

將 4y 加到 9y。

$$13y=10+3$$

將 10 加到 3。

$$13y=13$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=1$$

在 2x-3y=-1 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-3=-1$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$2x=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$